Cálculo Exemplos

$x^{3} - y^{3} = y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

Etapa 2.2.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ por $- 3 y^{2} - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$ por $- 3 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 y^{2} - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 3 y^{2} - 1)}{- 3 y^{2} - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 3 y^{2} - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 3 y^{2}$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2}) - 1 (1)}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (3 y^{2}) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y^{2} + 1)}$

Etapa 5.4.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.5.1

Reescreva $- (3 y^{2} + 1)$ como $- 1 (3 y^{2} + 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y^{2} + 1)}$

Etapa 5.4.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 5.4.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 5.4.3.5.4

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 1}$