Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Depois, $d u = (6 x + 12) d x$ , então, $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 12 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $6 x + 12$ e $0$ .

$6 x + 12$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $3$ e $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Etapa 1.5.3

Some $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Etapa 2

Combine $u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $16$ e em $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.6

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Etapa 5.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Etapa 5.2.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Etapa 5.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Etapa 5.2.10

Subtraia $2$ de $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Etapa 5.2.11

Cancele o fator comum de $126$ e $3$ .

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Etapa 5.2.11.1

Fatore $3$ de $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Etapa 5.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Etapa 5.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Etapa 5.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Etapa 5.2.11.2.4

Divida $42$ por $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Etapa 5.2.12

Combine $\frac{1}{6}$ e $42$ .

$\frac{42}{6}$

Etapa 5.2.13

Cancele o fator comum de $42$ e $6$ .

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Etapa 5.2.13.1

Fatore $6$ de $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Etapa 5.2.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.13.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Etapa 5.2.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Etapa 5.2.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{1}$

Etapa 5.2.13.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 6