Cálculo Exemplos

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- \frac{1}{24}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.4

Combine $4$ e $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{4}{24}$ e $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.6

Mova $x^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Fatore $4$ de $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20} x$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Etapa 1.5

Como $\frac{5}{18}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{5}{18}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Some $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

Etapa 1.6.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6 x^{5}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.8

Combine $- 5$ e $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.9

Combine $\frac{- 5}{6}$ e $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.10

Mova $x^{- 6}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- \frac{3}{20}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{20}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- \frac{5}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{6 x^{6}}$ em relação a $x$ é $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{6}}$ como ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 12}$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $12$ de $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

Etapa 3.3.9

Combine $6$ e $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $6$ por $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

Etapa 3.3.11

Combine $\frac{30}{6}$ e $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

Etapa 3.3.12

Mova $x^{- 7}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

Etapa 3.3.13

Cancele o fator comum de $30$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.13.1

Fatore $6$ de $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Etapa 3.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.13.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

Etapa 3.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Etapa 3.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$