Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{5 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.7.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (3 x) - \tan (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (2 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 1 \cdot 2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{1}$

Etapa 2.4

Divida $3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x))$

Etapa 3.6

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (2 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2})$

Etapa 3.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Etapa 3.8

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 5.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Etapa 5.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (0))$

Etapa 5.1.5

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1^{2})$

Etapa 5.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1)$

Etapa 5.1.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2)$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$\frac{1}{5}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{5}$

Forma decimal:

$0.2$