Cálculo Exemplos

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Etapa 5

Multiplique $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Etapa 6

Multiplique $x$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Etapa 6.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $x$ .

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Etapa 6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Etapa 6.3

Some $- 2$ e $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Etapa 9

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Etapa 10

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Etapa 12.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Etapa 12.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$