Cálculo Exemplos

$(x - 1) \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $(x - 1) \sqrt{x}$ como uma função.

$f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int (x - 1) \sqrt{x} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5

Expanda $(x - 1) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 5.6

Some $2$ e $1$ .

$\int x^{\frac{3}{2}} - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = (x - 1) \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$