Cálculo Exemplos

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.4.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Fatore $x^{2} + 4 x + 3$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $3$ e cuja soma é $4$ .

$1, 3$

Etapa 1.1.3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.3.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, - 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.2.1

Some $- 3$ e $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Etapa 4.2.2.2.2

Divida $6$ por $- 1$ .

$- 6$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Etapa 5