Cálculo Exemplos

$\sqrt{1 + x^{4}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{4}}$ como ${(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{4}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{4}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 7.3

Mova ${(1 + x^{4})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 9

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3})$

Etapa 12

Simplifique os termos.

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Etapa 12.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}} x^{3}$

Etapa 12.2

Combine $\frac{4}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1

Fatore $2$ de $2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 ({(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 {(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{2 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$