Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Deixe $u = \arctan (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , então, $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \arctan (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 2.1.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 2.1.4

Reorganize os termos.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Etapa 2.3

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Etapa 2.5

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Etapa 5.2.4

Some $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Etapa 6.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π^{2}}{16}$

Forma decimal:

$0.61685027 \dots$