Cálculo Exemplos

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Etapa 1.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Etapa 1.2.3

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ em relação a $x$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Etapa 1.2.6

Como $- \frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Etapa 1.2.7

Some $1$ e $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Etapa 1.2.8

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.9

Combine $\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ e $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Etapa 1.2.10

Combine $- 4$ e $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Etapa 1.2.11

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Fatore $2$ de $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Etapa 1.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Etapa 1.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Etapa 1.2.11.2.4

Divida $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ por $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Etapa 1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Etapa 1.3.2.3

Combine $\frac{π}{2}$ e $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Etapa 1.3.2.4

Subtraia $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ de $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 2 π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ em relação a $x$ é $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.6

Como $- \frac{π}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{6}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Etapa 2.3.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Etapa 2.3.7.2

Combine $\frac{π}{2}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.7.3

Combine $\frac{π \cdot 2}{2}$ e $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.8

Combine $\frac{2 π^{2}}{2}$ e $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Etapa 2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Etapa 2.9.2

Divida $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ por $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo em $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ por $- 2 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Divida cada termo em $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ por $- 2 π$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.2.2.2

Divida $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Etapa 4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Etapa 4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Etapa 4.3.2

Divida $0$ por $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Etapa 5

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Some $\frac{π}{6}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Etapa 7.5.2

Some $3 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Etapa 7.6

Cancele o fator comum de $4$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Etapa 7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Etapa 7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Etapa 8

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Etapa 9.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Etapa 9.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Etapa 9.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 10

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 11

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 11.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 11.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Some $\frac{π}{6}$ aos dois lados da equação.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $\frac{3 π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Etapa 11.2.5.2

Some $9 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Etapa 11.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Fatore $2$ de $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Etapa 11.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Etapa 11.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Etapa 11.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1.1

Fatore $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 11.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Etapa 11.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Etapa 11.4.2.1.2

Combine $2$ e $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Etapa 11.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Etapa 12

A solução para a equação $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Combine $π$ e $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.1.2

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.4.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.1.4.2

Cancele o fator comum.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.1.4.3

Reescreva a expressão.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.2

Para escrever $\frac{2 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{2 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Etapa 14.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Etapa 14.5.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Etapa 14.6

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.6.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Etapa 14.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Etapa 14.6.2.2

Cancele o fator comum.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Etapa 14.6.2.3

Reescreva a expressão.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 14.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Etapa 14.8

Multiplique $π^{2}$ por $1$ .

$π^{2}$

Etapa 15

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Etapa 16.2.1.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 16.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 16.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 16.2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Etapa 16.2.1.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Etapa 16.2.2

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{10}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.1

Combine $π$ e $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.2

Mova $10$ para a esquerda de $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1.4.1

Fatore $2$ de $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.4.2

Cancele o fator comum.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.1.4.3

Reescreva a expressão.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.2

Para escrever $\frac{5 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Multiplique $\frac{5 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 18.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Etapa 18.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Etapa 18.5.2

Subtraia $π$ de $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Etapa 18.6

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Etapa 18.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Etapa 18.6.2.2

Cancele o fator comum.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Etapa 18.6.2.3

Reescreva a expressão.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 18.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 18.8

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 18.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Etapa 18.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Etapa 18.11

Reescreva $- 1 π^{2}$ como $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

Etapa 19

$x = \frac{10}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{10}{3}$ é um máximo local

Etapa 20

Encontre o valor y quando $x = \frac{10}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{10}{3}$ na expressão.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Etapa 20.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Etapa 20.2.1.2

Subtraia $1$ de $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Etapa 20.2.1.3

Divida $9$ por $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Etapa 20.2.1.4

Combine $\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Etapa 20.2.1.5

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Etapa 20.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 20.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 20.2.1.8

Multiplique $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Etapa 20.2.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Etapa 20.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Etapa 20.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 21

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ é um mínimo local

$(\frac{10}{3}, 2)$ é um máximo local

Etapa 22