Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} \sqrt[3]{x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + lim_{x \to - 2} 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 1 \cdot 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 2 - 6} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$\frac{\sqrt[3]{- 8} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + 8}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + lim_{x \to - 2} 8}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{3} + 8}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{3} + 8}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{- 8 + 8}$

Etapa 1.1.3.3.2

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{\sqrt[3]{x - 6} + 2}{x^{3} + 8} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6} + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x - 6} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x - 6}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x - 6}$ como ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 6] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3} {(x - 6)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.13

Multiplique $\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{{(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(x - 6)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 8]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8]}$

Etapa 1.3.8

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2} + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}}{3 x^{2}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Etapa 1.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}}$ por $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} (3 x^{2})}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{1}{9 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{1}{9}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{9} lim_{x \to - 2} \frac{1}{{(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} x^{2}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 2} {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Etapa 2.5

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de ${(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - lim_{x \to - 2} 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot lim_{x \to - 2} x^{2}}$

Etapa 2.8

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to - 2} x - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $- 2$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(lim_{x \to - 2} x)}^{2}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{{(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{9 ({(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2})}$

Etapa 4.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 1 \cdot 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{1}{9 {(- 2 - 6)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{9 {(- 8)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{1}{36 {(- 8)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.5

Reescreva $- 8$ como ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{1}{36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.3.6

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.3.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 4.3.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{36 {(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.3.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{36 \cdot 4}$

Etapa 4.4

Multiplique $36$ por $4$ .

$\frac{1}{144}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{144}$

Forma decimal:

$0.0069\overline{4}$