Cálculo Exemplos

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Etapa 1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \csc (x)$ . Depois, $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , então, $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = \csc (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Etapa 2.1.3

Reordene os fatores de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Etapa 2.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Etapa 2.3.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Etapa 2.5.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a cossecante é negativa no quarto quadrante.

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Etapa 2.5.3

O valor exato de $\csc (\frac{π}{4})$ é $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Etapa 3

Reescreva $- 1 u$ como $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Etapa 5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $- \sqrt{2}$ e em $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.2

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.4.5

Avalie o expoente.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.6.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.6.2

Reescreva a expressão.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Etapa 8.2.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Etapa 8.2.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 8.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Etapa 8.2.10

Subtraia $1$ de $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Etapa 8.2.11

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Etapa 8.2.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.12.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2}$

Etapa 8.2.12.2

Reescreva a expressão.

$1$