Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $2$ por $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2.4

Some $2$ e $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Forma decimal:

$1.21895141 \dots$