Cálculo Exemplos

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{y^{2} + x^{2}}]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2} + x^{2}}$ como ${(y^{2} + x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(y^{2} + x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = y^{2} + x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2} + x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + x^{2}$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.2

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (- {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (- 2 {(y^{2} + x^{2})}^{- 2} x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (\frac{- 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y (- \frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}} x)$

Etapa 4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$y (- \frac{x \cdot 2}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Etapa 4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$y (- \frac{2 \cdot x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}})$

Etapa 4.2.5

Combine $y$ e $\frac{2 x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{y (2 x)}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$

Etapa 4.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$- \frac{2 y x}{{(y^{2} + x^{2})}^{2}}$