Cálculo Exemplos

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{2 x - x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Etapa 4

Complete o quadrado.

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Etapa 4.1

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Etapa 4.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 4.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 4.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{- 1}$

Etapa 4.4.2.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 4.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Etapa 4.5.2.1.3

Divida $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Etapa 4.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Etapa 4.5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$e = 1$

Etapa 4.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{1} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Simplifique $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

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Etapa 7.1.1

Reordene $- \sin^{2} (t)$ e $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 7.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 7.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Etapa 7.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Etapa 7.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 7.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 8

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Depois, $d u_{2} = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = 2 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 12.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 13

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 15

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 16

Simplifique.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 17.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 17.4

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Etapa 17.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Etapa 18.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Etapa 18.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Etapa 18.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

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Etapa 18.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 18.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Etapa 19

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Etapa 20

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$