Cálculo Exemplos

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Etapa 4.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(1 + x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $(A) (1 - 2 x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.5

Cancele o fator comum de $1 - 2 x$ .

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Etapa 4.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Etapa 4.1.6.5.2

Divida $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - 2 A x + (B) (1 + x)$

Etapa 4.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A - 2 A x + B \cdot 1 + B x$

Etapa 4.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A - 2 A x + B + B x$

Etapa 4.1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Etapa 4.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Etapa 4.1.7.3

Mova $B$ .

$1 = A - 2 x A + B x + B$

Etapa 4.1.7.4

Mova $A$ .

$1 = - 2 x A + B x + A + B$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 2 A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $B$ em $0 = - 2 A + B$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $- 2 A + B = 0$ .

$- 2 A + B = 0$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.1.2

Some $2 A$ aos dois lados da equação.

$B = 2 A$

$1 = A + B$

$B = 2 A$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2 A$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = A + B$ por $2 A$ .

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique $1 = A + 2 A$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Remova os parênteses.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.2.1

Some $A$ e $2 A$ .

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.3

Resolva $A$ em $1 = 3 A$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $3 A = 1$ por $3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.3.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Etapa 4.3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{1}{3}$ em cada equação.

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Etapa 4.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = 2 A$ por $\frac{1}{3}$ .

$B = 2 (\frac{1}{3})$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Etapa 4.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

Etapa 4.5.4

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{1} = 1 + x$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{1} = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 7.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Etapa 9

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 1 - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 10.1.2

Diferencie.

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Etapa 10.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 10.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 10.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 10.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 10.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 11.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 11.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 14.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 14.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 16

Simplifique.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$