Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.1

Combine $\frac{1}{x}$ e $x$ .

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $\frac{d}{d y} [x]$ por $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x' + \ln (x) x'$

Etapa 3.6

Reordene os termos.

$\ln (x) x' + x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = \ln (x) x' + x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\ln (x) x' + x' = 1$ .

$\ln (x) x' + x' = 1$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $\ln (x) x' + x'$ .

$x' \ln (x) + x' = 1$

Etapa 5.3

Fatore $x'$ de $x' \ln (x) + x'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x'$ de $x' \ln (x)$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Etapa 5.3.2

Eleve $x'$ à potência de $1$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $x'$ de ${x'}^{1}$ .

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

Etapa 5.3.4

Fatore $x'$ de $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ .

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' (\ln (x) + 1) = 1$ por $\ln (x) + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' (\ln (x) + 1) = 1$ por $\ln (x) + 1$ .

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x) + 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$