Cálculo Exemplos

$\tan^{2} (2 x)$

Etapa 1

Escreva $\tan^{2} (2 x)$ como uma função.

$f (x) = \tan^{2} (2 x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \tan^{2} (2 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 4.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \tan^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 5

Combine $\tan^{2} (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\tan^{2} (u)}{2} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u) d u$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u + \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (- u + C + \int \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 10

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\frac{1}{2} (- u + C + \tan (u) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{2} (- u + \tan (u)) + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (- (2 x) + \tan (2 x)) + C$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- 2 x + \tan (2 x)) + C$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Etapa 13.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.3.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Etapa 13.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Etapa 13.3.3

Reescreva a expressão.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Etapa 13.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (2 x)$ .

$- x + \frac{\tan (2 x)}{2} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \tan^{2} (2 x)$ .

$F (x) =$ $- x + \frac{1}{2} \tan (2 x) + C$