Cálculo Exemplos

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x + \sin (x)$ . Depois, $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , então, $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x + \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$