Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{2} - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x^{2} - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{2} - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x^{2} - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4

Expanda $(x^{2} - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{2 \cdot 3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int x^{\frac{6 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 4.6.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$\int x^{\frac{5}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{5}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$