Cálculo Exemplos

$y = x \ln (x) - x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \ln (x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.4

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.2.6

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$0 + \ln (x)$

Etapa 3.4.2

Some $0$ e $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \ln (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$