Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.8.1.1

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.2.8.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 4) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.2.8.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (4 - 2 x) - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (4 - 2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.8

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 \sin (4 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.3.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + 0}$

Etapa 3.9

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{x}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 8

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 11

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{2}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 14.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 \cdot 2)}{2}$

Etapa 14.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 4)}{2}$

Etapa 14.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (0)}{2}$

Etapa 14.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \cdot 0}{2}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 0}{2}$

Etapa 14.1.5

Some $- 1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Etapa 14.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Etapa 14.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4}$