Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{lower} = 1 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Etapa 1.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $3$ e em $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.2

Mova $3^{1}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3

Multiplique $3^{\frac{3}{2}}$ por $3^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.3.1

Mova $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.3.6.2

Some $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Etapa 6.2.5

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Etapa 6.2.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 6.2.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Etapa 6.2.8

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

Etapa 6.2.9

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Etapa 6.2.10

Some $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.11

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.12

Combine $\frac{2}{2}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.13

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.14

Divida $3^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimal:

$1.73205080 \dots$

Etapa 8