Cálculo Exemplos

$\cos (x^{2} + y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (x^{2} + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x^{2} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + y$ .

$- \sin (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ por $- \sin (x^{2} + y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $- \sin (x^{2} + y) (2 x + y') = 1$ por $- \sin (x^{2} + y)$ .

$\frac{- \sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{- \sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (x^{2} + y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x^{2} + y) (2 x + y')}{\sin (x^{2} + y)} = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $2 x + y'$ por $1$ .

$2 x + y' = \frac{1}{- \sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 x + y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x + y' = - \frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$

Etapa 5.1.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x^{2} + y)}$ em $\csc (x^{2} + y)$ .

$2 x + y' = - \csc (x^{2} + y)$

Etapa 5.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$y' = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \csc (x^{2} + y) - 2 x$