Cálculo Exemplos

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $4 y y'$ e $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Etapa 3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $y'$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $4 y y'$ .

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.4

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.5.1

Reordene os termos.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ e cuja soma é $b = 4$ .

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Etapa 5.5.2.1

Fatore $4$ de $4 u$ .

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.2.2

Reescreva $4$ como $1$ mais $3$

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.2.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.5.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.5.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.6

Fatore.

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Etapa 5.6.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y - 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ por $(- 3 y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 3 y + 1$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.2.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 5.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.2

Fatore $- 1$ de $- 3 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.4

Fatore $- 1$ de $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.3.5.1

Reescreva $- (3 y - 1)$ como $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Etapa 5.7.3.5.4

Multiplique $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$