Cálculo Exemplos

$y = {(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3})$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3}))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{5}$ e $g (x) = \cos (4 x^{3})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [\cos (4 x^{3})] + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.3.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 3.5.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0))$

Etapa 3.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.5.4.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $3$ por $5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (15 {(x^{3} + 1)}^{4} x^{2})$

Etapa 3.5.4.3

Reordene os termos.

$- 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$