Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Depois, $d u = \sin (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Etapa 1.5.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 1.5.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Etapa 1.5.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Etapa 3

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Etapa 3.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Etapa 3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Etapa 3.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Etapa 3.2.6

Some $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$\frac{8}{3}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{8}{3}$

Forma decimal:

$2.\overline{6}$

Forma de número misto:

$2 \frac{2}{3}$