Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 3 x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 lim_{x \to 3} x}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{9 - 3 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.5.1.2

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{3 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.6

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{3 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.7

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} x}$

Etapa 1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 3}$

Etapa 1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.8.1.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 1 \cdot 6} - 3}$

Etapa 1.3.8.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{0}{3 e^{6 - 6} - 3}$

Etapa 1.3.8.1.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{0}{3 e^{0} - 3}$

Etapa 1.3.8.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 3}$

Etapa 1.3.8.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - 3 x}{3 e^{2 x - 6} - x} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6} - x]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{2 x - 6} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{2 x - 6}]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{2 x - 6}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 \frac{d}{d x} [e^{2 x - 6}] + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x - 6$ .

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Etapa 3.6.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \frac{d}{d x} [2 x - 6]) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.6

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.8

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (e^{2 x - 6} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x - 6}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{3 (2 e^{2 x - 6}) + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.6.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} + \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 3.7.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 3}{6 e^{2 x - 6} - 1}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Etapa 6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Etapa 7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - 1}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 3} 6 e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 9

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 lim_{x \to 3} e^{2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 10

Mova o limite para o expoente.

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 13

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - lim_{x \to 3} 1}$

Etapa 14

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 - 3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.1.3

Subtraia $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{2 \cdot 3 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 1 \cdot 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{3}{6 e^{6 - 6} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{3}{6 e^{0} - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{3}{6 \cdot 1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$\frac{3}{6 - 1 \cdot 1}$

Etapa 16.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3}{6 - 1}$

Etapa 16.2.6

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{3}{5}$