Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{2}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{2}{3}} 4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 9 x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 - 9 lim_{x \to \frac{2}{3}} x^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 - 9 {(lim_{x \to \frac{2}{3}} x)}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{2}{3}$ por $x$ .

$\frac{4 - 9 {(\frac{2}{3})}^{2}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 - 9 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 9 \frac{4}{3^{2}}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 9 (\frac{4}{9})}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $9$ .

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Etapa 1.1.2.3.1.4.1

Fatore $9$ de $- 9$ .

$\frac{4 + 9 (- 1) \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 + 9 \cdot - 1 \frac{4}{9}}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - 3 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{2}{3}} 2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{2}{3}$ .

$\frac{0}{2 - lim_{x \to \frac{2}{3}} 3 x}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 lim_{x \to \frac{2}{3}} x}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{2}{3}$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$\frac{0}{2 + 3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{2 + 3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{4 - 9 x^{2}}{2 - 3 x} = lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4 - 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 9 (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{0 - 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $18 x$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2 - 3 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 1.3.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{0 - 3}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $3$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 18 x}{- 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $- 18$ e $- 3$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $- 3$ de $- 18 x$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $- 3$ de $- 3$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 (1)}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{- 3 (6 x)}{- 3 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{2}{3}} \frac{6 x}{1}$

Etapa 1.4.2.4

Divida $6 x$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{2}{3}} 6 x$

Etapa 2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to \frac{2}{3}} x$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{2}{3}$ por $x$ .

$6 (\frac{2}{3})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{2}{3}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{2}{3}$

Etapa 4.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 2$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$