Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x + \cot (x)}{5 + e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x + \cot (x)$ e $g (x) = 5 + e^{x}$ .

$\frac{(5 + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 x + \cot (x)] - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + \cot (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 + \frac{d}{d x} [\cot (x)]) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [5 + e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x + \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) + (- (2 x) - \cot (x)) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Expanda $(5 + e^{x}) (2 - \csc^{2} (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 (2 - \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} (2 - \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.2.1

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 + 5 (- \csc^{2} (x)) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + e^{x} \cdot 2 + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 \cdot e^{x} + e^{x} (- \csc^{2} (x)) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - (2 x) e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Reordene os fatores em $10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - \cot (x) e^{x}$ .

$\frac{10 - 5 \csc^{2} (x) + 2 e^{x} - e^{x} \csc^{2} (x) - 2 x e^{x} - e^{x} \cot (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{- e^{x} \csc^{2} (x) - 2 e^{x} x - e^{x} \cot (x) + 2 e^{x} + 10 - 5 \csc^{2} (x)}{{(5 + e^{x})}^{2}}$