Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Depois, $d u = \sin (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$0 + \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Etapa 3

Avalie $\ln (| u |)$ em $1$ e em $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Etapa 4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Etapa 5.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Etapa 6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido