Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.2

Para escrever $\sqrt{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Etapa 1.3.2.2

Some $3$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2.3

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 2.2.5.2

Some $1$ e $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.3

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.4

Combine $- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.6.2

Subtraia $10$ de $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Etapa 4.7

Reordene $x^{\frac{- 3}{2}}$ e $- 1 x^{- 5}$ .

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $- 1 x^{- 5}$ como $- x^{- 5}$ .

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Etapa 5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 9.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$