Cálculo Exemplos

$x - \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \frac{1}{x} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.8

Some $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$