Cálculo Exemplos

$x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 y + x^{3} + 3 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 4 y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 3 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.4.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$1 - 4 y' + 3 x^{2} + 9 y^{2} y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 x^{2} + 9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $3 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} y' + 1 - 4 y' = - 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$9 y^{2} y' - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $9 y^{2} y' - 4 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $9 y^{2} y'$ .

$y' (9 y^{2}) - 4 y' = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 4 y'$ .

$y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4 = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (9 y^{2}) + y' \cdot - 4$ .

$y' (9 y^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.3

Reescreva $9 y^{2}$ como ${(3 y)}^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 4) = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y' ({(3 y)}^{2} - 2^{2}) = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.5

Fatore.

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Etapa 5.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 y$ e $b = 2$ .

$y' ((3 y + 2) (3 y - 2)) = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ por $(3 y + 2) (3 y - 2)$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (3 y + 2) (3 y - 2) = - 3 x^{2} - 1$ por $(3 y + 2) (3 y - 2)$ .

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $3 y + 2$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y + 2) (3 y - 2)}{(3 y + 2) (3 y - 2)} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.2.2

Cancele o fator comum de $3 y - 2$ .

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Etapa 5.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y - 2)}{3 y - 2} = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} + \frac{- 1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 5.6.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{(3 y + 2) (3 y - 2)} - \frac{1}{(3 y + 2) (3 y - 2)}$