Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{\frac{7}{2}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.8

Combine $6$ e $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.10

Fatore $2$ de $42 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2.11.4

Divida $21 x^{\frac{5}{2}}$ por $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.8

Combine $4$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.9

Multiplique $5$ por $4$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.10

Fatore $2$ de $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.11.2

Cancele o fator comum.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.11.3

Reescreva a expressão.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.11.4

Divida $10 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $21$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $21 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.7

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.8

Combine $21$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.9

Multiplique $5$ por $21$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.8

Combine $10$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.9

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.10

Fatore $2$ de $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.11.4

Divida $15 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Some $\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$