Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{- 2 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{- 2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(- 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(- 4 + x)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} - 4 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- lim_{x \to 0} 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.1.5

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 1 \cdot 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4 + 0)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Some $- 4$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(- 4 + x)}^{2} - 16}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(- 4 + x)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Reescreva ${(- 4 + x)}^{2}$ como $(- 4 + x) (- 4 + x)$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(- 4 + x) (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Expanda $(- 4 + x) (- 4 + x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 (- 4 + x) + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x (- 4 + x) - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 4 \cdot - 4 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x + x \cdot - 4 + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 \cdot x + x \cdot x - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 4 x - 4 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - 8 x + x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 2.3.7.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Combine os termos.

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Etapa 2.3.10.1.1

Subtraia $8$ de $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10.1.2

Some $- 8 + 2 x$ e $0$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{- 8 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10.2

Reordene os termos.

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} \frac{2 x - 8}{1}$

Etapa 2.4

Divida $2 x - 8$ por $1$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to 0} 2 x - 8$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} (lim_{x \to 0} 2 x - lim_{x \to 0} 8)$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 8)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{- 2} (2 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 8)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{- 2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 1 \cdot 8)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 8)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 8)$

Etapa 5.3

Subtraia $8$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 8$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{2} \cdot - 8$

Etapa 5.4.2

Fatore $2$ de $- 8$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 4))$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 4)$

Etapa 5.4.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot - 4$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$4$