Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{e^{(a + 1) x}}{a} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{a}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{a}$ para fora da integral.

$\frac{1}{a} \int e^{(a + 1) x} d x$

Etapa 4

Deixe $u = (a + 1) x$ . Depois, $d u = (a + 1) d x$ , então, $\frac{1}{a + 1} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = (a + 1) x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $(a + 1) x$ .

$\frac{d}{d x} [(a + 1) x]$

Etapa 4.1.2

Como $a + 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $(a + 1) x$ em relação a $x$ é $(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(a + 1) \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $a + 1$ por $1$ .

$a + 1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{a} \int e^{u} \frac{1}{a + 1} d u$

Etapa 5

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{a + 1}$ .

$\frac{1}{a} \int \frac{e^{u}}{a + 1} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{a + 1}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{a + 1}$ para fora da integral.

$\frac{1}{a} (\frac{1}{a + 1} \int e^{u} d u)$

Etapa 7

Multiplique $\frac{1}{a + 1}$ por $\frac{1}{a}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} \int e^{u} d u$

Etapa 8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{(a + 1) a} (e^{u} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Simplifique.

$\frac{1}{(a + 1) a} e^{u} + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{(a + 1) a}$ e $e^{u}$ .

$\frac{e^{u}}{(a + 1) a} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(a + 1) x$ .

$\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{e^{(a + 1) x}}{a}$ .

$F (x) =$ $\frac{e^{(a + 1) x}}{(a + 1) a} + C$