Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 x + 1})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $2 x + 1$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 3.2.8.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8.3

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.8.4

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$