Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x + 2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.11

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.13

Multiplique $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2.14

Mova ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 2.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Etapa 3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x + 2}$ como ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.6

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 8$

Etapa 3.3.3.2

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 8$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.2.3.1

Divida $- 8$ por $4$ .

$x = - 2$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{x + 2}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x + 2 < 0$

Etapa 3.5

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x < - 2$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Etapa 4

Avalie $\sqrt{x + 2} - 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Some $- 2$ e $2$ .

$\sqrt{0} - 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} - 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$0 - 1$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 1)$

Etapa 5