Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \tan (5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0) + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1 - 1 + \tan (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.2.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x) - \tan (x)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0) - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1 - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 - \tan (0)}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 - 0}$

Etapa 1.1.3.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{1 - 1 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.1.3.6.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x) + \tan (5 x)}{1 - \cos (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) + \tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x) + \tan (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 1.3.5.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + \sec^{2} (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.5.5

Mova $5$ para a esquerda de $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6

Simplifique.

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Etapa 1.3.6.1

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \sec^{2} (5 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.6.2.1

Reescreva $\sec (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + 5 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.6.2.4

Combine $5$ e $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x) - \tan (x)]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x) - \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.9.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 - - \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + 1 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.9.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 1.3.10.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{0 + \sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 1.3.11

Simplifique.

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Etapa 1.3.11.1

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \sec^{2} (x)}$

Etapa 1.3.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.11.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 1.3.11.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.3.11.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.4

Combine os termos.

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Etapa 1.4.1

Para escrever $\sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\sin (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.4.3

Para escrever $\sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{\frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{\cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.9

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.10

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{{(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2}}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.12

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.13

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.14

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.15

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{lim_{x \to 0} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.16

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.17

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.18

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.19

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}}$

Etapa 2.20

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

Etapa 2.21

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}}$

Etapa 3.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\frac{0 \cdot 1^{2} + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{0 \cdot 1 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.1.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{\frac{0 + 5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.1.6

Some $0$ e $5$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (5 \cdot 0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{\frac{5}{\cos^{2} (0)}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\frac{5}{1^{2}}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{\sin (0) \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot \cos^{2} (0) - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{0 - 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.3.6

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{\cos^{2} (0)}}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1^{2}}}$

Etapa 4.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\frac{5}{1}}{\frac{- 1}{1}}$

Etapa 4.5

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{5}{\frac{- 1}{1}}$

Etapa 4.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{5}{- 1}$

Etapa 4.7

Mova o número negativo do denominador de $\frac{5}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 5$

Etapa 4.8

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- 5$