Cálculo Exemplos

${(x + x y + y)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + x y + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + x y + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + x y + y$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Etapa 2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + x y + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.6

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

Etapa 2.7

Some $1 + y$ e $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$