Cálculo Exemplos

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ como $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Etapa 3

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Etapa 3.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Etapa 3.4

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Etapa 3.5

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $\ln (8)$ e em $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

$\ln (8)$ é aproximadamente $2.07944154$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Etapa 7.2

$\ln (4)$ é aproximadamente $1.38629436$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Etapa 7.3

Reescreva $\ln (8)$ como $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Etapa 7.4

Expanda $\ln (2^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Etapa 7.5

Reescreva $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Etapa 7.6

Expanda $\ln (2^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Etapa 7.7

Cancele o fator comum de $\ln (2)$ .

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Etapa 7.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Etapa 7.7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Forma decimal:

$0.20273255 \dots$