Cálculo Exemplos

$\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$

Etapa 1

Como $70$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{70 x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}$ em relação a $x$ é $70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$ .

$70 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(3 x^{2} + 8)}^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 x^{2} + 8)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 3.3

Multiplique ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ por $1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 8)}^{2}]}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 8$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{2} + 8$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - x (2 (3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$70 \frac{{(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 5.2

Fatore $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{2} - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{2}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) - 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 5.2.2

Fatore $3 x^{2} + 8$ de $- 2 x ((3 x^{2} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 5.2.3

Fatore $3 x^{2} + 8$ de $(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8) + (3 x^{2} + 8) (- 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{{(3 x^{2} + 8)}^{4}}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $3 x^{2} + 8$ de ${(3 x^{2} + 8)}^{4}$ .

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$70 \frac{(3 x^{2} + 8) (3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8]))}{(3 x^{2} + 8) {(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $3$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Some $6 x$ e $0$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 2 x (6 x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 12.2

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 16

Some $1$ e $1$ .

$70 \frac{3 x^{2} + 8 - 12 x^{2}}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 17

Subtraia $12 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$70 \frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 18

Combine $70$ e $\frac{- 9 x^{2} + 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19

Simplifique.

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Etapa 19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 19.2.1

Multiplique $- 9$ por $70$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 70 \cdot 8}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.2.2

Multiplique $70$ por $8$ .

$\frac{- 630 x^{2} + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.3

Fatore $70$ de $- 630 x^{2} + 560$ .

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Etapa 19.3.1

Fatore $70$ de $- 630 x^{2}$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 560}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.3.2

Fatore $70$ de $560$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.3.3

Fatore $70$ de $70 (- 9 x^{2}) + 70 (8)$ .

$\frac{70 (- 9 x^{2} + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.4

Fatore $- 1$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) + 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.5

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2}) - 1 (- 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.6

Fatore $- 1$ de $- (9 x^{2}) - 1 (- 8)$ .

$\frac{70 (- (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.7

Reescreva $- (9 x^{2} - 8)$ como $- 1 (9 x^{2} - 8)$ .

$\frac{70 (- 1 (9 x^{2} - 8))}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$

Etapa 19.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{70 (9 x^{2} - 8)}{{(3 x^{2} + 8)}^{3}}$