Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 4 x - 39}{x^{2} - 9}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + 4 x - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + lim_{x \to 3} 4 x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $39$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 4 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.7.1.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.7.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3^{1 + 2} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3^{3} + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{27 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{27 + 12 - 1 \cdot 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $39$ .

$\frac{27 + 12 - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.2

Some $27$ e $12$ .

$\frac{39 - 39}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.2.7.3

Subtraia $39$ de $39$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3^{2} - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x^{2} + 4 x - 39}{x^{2} - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 4 x - 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 4 x - 39$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 39]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 39$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 39$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.6

Some $6 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 x + 4}{2 x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $6 x + 4$ e $2$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x) + 4}{2 x}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 x}$

Etapa 1.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.4.4.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 (x)}$

Etapa 1.4.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 3} \frac{2 (3 x + 2)}{2 x}$

Etapa 1.4.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{3 x + 2}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} 3 x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 2}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{3 lim_{x \to 3} x + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 2}{lim_{x \to 3} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{3 \cdot 3 + 2}{3}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 2}{3}$

Etapa 4.2

Some $9$ e $2$ .

$\frac{11}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{11}{3}$

Forma decimal:

$3.\overline{6}$