Cálculo Exemplos

${(3 - 5 x)}^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 5 x$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 1.2.4

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 25$ por $1$ .

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ em relação a $x$ é $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - 5 x$ .

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 5 x$ .

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $4$ por $- 25$ .

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 2.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 2.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 5$ por $- 100$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

Etapa 2.3.8

Multiplique $500$ por $1$ .

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $500$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ em relação a $x$ é $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 - 5 x$ .

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 5 x$ .

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $3$ por $500$ .

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 3.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 5$ por $1500$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 7500$ por $1$ .

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$