Cálculo Exemplos

$\ln (\sec (2 x) + 6 \tan (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (2 x) + 6 \tan (x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec (2 x) + 6 \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (2 x)] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (\sec (2 x) \tan (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 4.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \cdot (\sec (2 x) \tan (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 \tan (x)])$

Etapa 4.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \tan (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 5

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} (2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x))$ .

$(2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $2 \sec (2 x) \tan (2 x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

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Etapa 6.3.1

Combine $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ e $2$ .

$\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{2}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ e $\sec (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.3.3

Combine $\frac{2 \sec (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ e $\tan (2 x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + 6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.4

Multiplique $6 \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ .

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Etapa 6.4.1

Combine $\frac{1}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ e $6$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} \sec^{2} (x)$

Etapa 6.4.2

Combine $\frac{6}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)} + \frac{6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.6

Fatore $2$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x) + 6 \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 6.6.1

Fatore $2$ de $2 \sec (2 x) \tan (2 x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 6 \sec^{2} (x)}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.6.2

Fatore $2$ de $6 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$

Etapa 6.6.3

Fatore $2$ de $2 (\sec (2 x) \tan (2 x)) + 2 (3 \sec^{2} (x))$ .

$\frac{2 (\sec (2 x) \tan (2 x) + 3 \sec^{2} (x))}{\sec (2 x) + 6 \tan (x)}$