Cálculo Exemplos

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{(x + 1) (x + 2)} d x$

Etapa 4

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 4.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 4.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 4.1.2

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$

Etapa 4.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x + 2)$ .

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 1) (x + 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (x + 1) (x + 2)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.1.2

Divida $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$1 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.3

Mova $2$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 4.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A x + 2 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 2)}{x + 2}$

Etapa 4.1.6.4.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + (B) (x + 1)$

Etapa 4.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A x + 2 A + B x + B \cdot 1$

Etapa 4.1.6.6

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A x + 2 A + B x + B$

Etapa 4.1.7

Mova $2 A$ .

$1 = A x + B x + 2 A + B$

Etapa 4.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 4.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 4.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = 2 A + B$

Etapa 4.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

$0 = A + B$

$1 = 2 A + B$

Etapa 4.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = 2 A + B$

Etapa 4.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

$A = - B$

$1 = 2 A + B$

Etapa 4.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

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Etapa 4.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = 2 A + B$ por $- B$ .

$1 = 2 (- B) + B$

$A = - B$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.2.2.1

Simplifique $2 (- B) + B$ .

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Etapa 4.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 = - 2 B + B$

$A = - B$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Some $- 2 B$ e $B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Etapa 4.3.3

Resolva $B$ em $1 = - B$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reescreva a equação como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Etapa 4.3.3.2

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 4.3.3.2.1

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 4.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 4.3.3.2.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 4.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.3.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Etapa 4.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 4.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Etapa 4.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = - 1$

Etapa 4.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 2}$

Etapa 4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x + 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{x + 2} d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 9.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 9.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C - (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 12

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| u_{2} |}) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ .

$F (x) =$ $\ln (\frac{| x + 1 |}{| x + 2 |}) + C$