Cálculo Exemplos

$\int x {(2 x - 1)}^{7} d x$

Etapa 1

Não foi possível concluir esta integral usando a integração por partes. O Mathway usará outro método.

Etapa 2

Deixe $u = 2 x - 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{7} \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{7}$ .

$\int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{u}{2}$ por $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u \cdot u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int \frac{u^{1} u^{7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{u^{1 + 7}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.5

Some $1$ e $7$ .

$\int \frac{u^{8}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{7}}{2} d u$

Etapa 4.7

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{7}}{2}$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{2 \cdot 2} d u$

Etapa 4.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int \frac{u^{8}}{4} + \frac{u^{7}}{4} d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{u^{8}}{4} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int u^{8} d u + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{8}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \int \frac{u^{7}}{4} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} \int u^{7} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{9} u^{9} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 9} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{4 \cdot 8} u^{8} + C$

Etapa 10.2.4

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{1}{36} u^{9} + \frac{1}{32} u^{8} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 1$ .

$\frac{1}{36} {(2 x - 1)}^{9} + \frac{1}{32} {(2 x - 1)}^{8} + C$