Cálculo Exemplos

$e^{\sqrt{\cos (x)}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\cos (x)}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${\cos (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cos (x)$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (x)$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\cos (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8.3

Mova ${\cos (x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 9

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (x))$

Etapa 10

Combine $\frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\sin (x)$ .

$- \frac{e^{{\cos (x)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x)}{2 {\cos (x)}^{\frac{1}{2}}}$