Cálculo Exemplos

$y' = 3 x^{2}$ , $y = x^{3} - 4 + c$ , $y (0) = 5$

Etapa 1

Verifique se solução determinada satisfaz a equação diferencial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3} - 4 + c)$

Etapa 1.1.2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 1.1.3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 + c$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3.4

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Etapa 1.1.3.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.3.5.2

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 1.1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = 3 x^{2}$

Etapa 1.2

Substitua na equação diferencial determinada.

$3 x^{2} = 3 x^{2}$

Etapa 1.3

A solução determinada satisfaz a equação diferencial fornecida.

$y = x^{3} - 4 + c$ é uma solução para $y' = 3 x^{2}$

Etapa 2

Substitua a condição inicial.

$5 = 0^{3} - 4 + c$

Etapa 3

Resolva $c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $0^{3} - 4 + c = 5$ .

$0^{3} - 4 + c = 5$

Etapa 3.2

Simplifique $0^{3} - 4 + c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 + c = 5$

Etapa 3.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4 + c = 5$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $c$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$c = 5 + 4$

Etapa 3.3.2

Some $5$ e $4$ .

$c = 9$